\subsection{最简二次根式和同类二次根式}\label{subsec:10-3}
\begin{enhancedline}

\subsubsection{最简二次根式}

我们看下面的例子：

$\sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot ab} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{ab} = a\sqrt{ab}$，

$a^2\sqrt{\dfrac{b}{a}} = a^2 \sqrt{\dfrac{ab}{a^2}} = \dfrac{a^2}{a}\sqrt{ab} = a\sqrt{ab}$。

二次根式 $\sqrt{a^3b}$ 和 $a^2\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ \footnote{为了方便，我们把形如 $b\sqrt{a} \; (a \geqslant0)$
    的式子也叫做二次根式，如 $10\sqrt{2}$， $-\sqrt{3}$， $2ab\sqrt{c^2 +1}$ 等。
}
的形式虽然不同，但是它们都可以化成形式比较简单的二次根式 $a\sqrt{ab}$。
与二次根式和  $\sqrt{a^3b}$ 和 $a^2\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 比较，
二次根式 $a\sqrt{ab}$ 满足下列两个条件：

(1) 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数 $2$ ；

(2) 被开方数不含分母。

我们把符合这两个条件的二次根式，叫做\zhongdian{最简二次根式}。
例如，$4\sqrt{5a}$， $\dfrac{\sqrt{y}}{2}$， $\sqrt{a^2 + b}$ 等都是最简二次根式；
而 $\sqrt{4a^3}$， $\sqrt{\dfrac{c}{3}}$， $\sqrt{8}$ 等就不是最简二次根式。

一个二次根式，如果不是最简二次根式，可以用上节所说的方法，
化去根号内的分母，并把被开方数中能开得尽方的因式用算术平方根代替移到根号外面，
把它化成最简二次根式。

\liti[0] 把下列根式化成最简二次根式：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \fourInLineXxt[9em]{$\sqrt{12}$；}{$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；}{$4\sqrt{1\dfrac{1}{2}}$；}{$x^2\sqrt{\dfrac{y}{x}}$。}

\resetxxt
\jie \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
    \xxt{$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$；} \\
    \xxt{$\sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{3 \times 3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$；} \\
    \xxt{$4\sqrt{1\dfrac{1}{2}} = 4\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 4\sqrt{\dfrac{6}{4}} = 2\sqrt{6}$；} \\
    \xxt{$x^2\sqrt{\dfrac{y}{x}} = x^2\sqrt{\dfrac{xy}{x^2}} = x\sqrt{xy}$。}
\end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\zhuyi 把二次根式化成最简二次根式时，往往需要把被开方数分解质因数（或分解因式）。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{下列根式中，哪些是最简二次根式？ 哪些不是？ 如果不是，就把它化成最简二次根式。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$\sqrt{45}$；}      & \xxt{$\sqrt{25a^3}$；}          & \xxt{$\sqrt{\dfrac{ab}{4}}$；} \\
        \xxt{$\sqrt{14}$；}      & \xxt{$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$；}   & \xxt{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；} \\
        \xxt{$\sqrt{6a^2b^3}$；} & \xxt{$\sqrt{\dfrac{4y}{5x}}$；} & \xxt{$\sqrt{a + b^2}$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{把下列根式化成最简二次根式。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={colsep=0pt}, column{1,2} = {12em}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$3\sqrt{216}$；}      & \xxt{$\sqrt{32}$；}          & \xxt{$\sqrt{\dfrac{8}{9}}$；} \\
        \xxt{$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$；}  & \xxt{$\sqrt{\dfrac{20a^2b}{a}}$；}  & \xxt{$2\sqrt{a^3b^3}$；} \\
        \xxt{$x^2\sqrt{\dfrac{1}{8x^3}}$；} & \xxt{$\sqrt{\dfrac{ab}{(a + b)^2}}$；} & \xxt{$(a - b)\sqrt{\dfrac{1}{a - b}} \; (a > b)$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}



\subsubsection{同类二次根式}

把 $\sqrt{12}$ 与 $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$ 化成最简二次根式，得到

\hspace*{4em} $\begin{aligned}
    & \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3} \douhao \\
    & \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{3 \times 3}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \juhao
\end{aligned}$

二次根式 $2\sqrt{3}$ 与 $\dfrac{1}{3}\sqrt{3}$ 的被开方数相同，都是 $3$。
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做\zhongdian{同类二次根式}。
例如：$\sqrt{12}$， $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$， $\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ 是同类二次根式；
$a\sqrt{ab}$， $3\sqrt{ab}$ 也是同类二次根式。
而 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$ 不是同类二次根式；
$\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{3a}$ 也不是同类二次根式。

我们知道，在多项式中，遇到同类项就可以合并。
同样，在几个二次根式的和里，遇到同类二次根式也可以合并。

\liti 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

\hspace*{2em} $\sqrt{2}$\nsep $\sqrt{75}$\nsep $\sqrt{\dfrac{1}{50}}$\nsep $\sqrt{\dfrac{1}{27}}$\nsep $\sqrt{3}$\nsep
$\dfrac{2}{3}\sqrt{8ab^3}$\nsep $6b\sqrt{\dfrac{a}{2b}}$。

\jie $\because$ \quad \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
    $\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3}$； \\
    $\sqrt{\dfrac{1}{50}} = \sqrt{\dfrac{2}{50 \times 2}} = \dfrac{1}{10}\sqrt{2}$； \\
    $\sqrt{\dfrac{1}{27}} = \sqrt{\dfrac{3}{27 \times 3}} = \dfrac{1}{9}\sqrt{3}$； \\
    $\dfrac{2}{3}\sqrt{8ab^3} = \dfrac{2}{3} \cdot 2b\sqrt{2ab} = \dfrac{4b}{3}\sqrt{2ab}$； \\
    $6b\sqrt{\dfrac{a}{2b}} = 6b\sqrt{\dfrac{a \cdot 2b}{2b \cdot 2b}} = 3\sqrt{2ab}$。
\end{tblr}

$\therefore$ \quad \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
    $\sqrt{2}$， $\sqrt{\dfrac{1}{50}}$ 是同类二次根式； \\
    $\sqrt{75}$， $\sqrt{\dfrac{1}{27}}$， $\sqrt{3}$ 是同类二次根式； \\
    $\dfrac{2}{3}\sqrt{8ab^3}$， $6b\sqrt{\dfrac{a}{2b}}$ 是同类二次根式。
\end{tblr}


\liti 合并下列各式中的同类二次根式：
\begin{xiaoxiaotis}

    \hspace*{1.5em} \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt}, column{1}={22em}}
        \xxt{$2\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3}$；}
            & \xxt{$3\sqrt{xy} - a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy}$。}
    \end{tblr}

\resetxxt
\jie \begin{tblr}[t]{columns={colsep=0pt}, column{1}={22em}}
    \xxt{$\begin{aligned}[t]
        & 2\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{3} + \dfrac{1}{3}\sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} \\
        & = \left(2 + \dfrac{1}{3} - 1\right)\sqrt{2} + \left(-\dfrac{1}{2} + 1\right)\sqrt{3} \\
        &= \dfrac{4}{3}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \fenhao
    \end{aligned}$} & \xxt{$\begin{aligned}[t]
        & 3\sqrt{xy} - a\sqrt{xy} + b\sqrt{xy} \\
        & = (3 - a + b)\sqrt{xy} \juhao
    \end{aligned}$}
\end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$\sqrt{63}$， $\sqrt{28}$；}   & \xxt{$\sqrt{12}$， $\sqrt{27}$， $4\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；} \\
        \xxt{$\sqrt{4x^3}$， $2\sqrt{2x}$；}  & \xxt{$\sqrt{18}$， $\sqrt{50}$， $2\sqrt{\dfrac{2}{9}}$；} \\
        \xxt{$\sqrt{2x}$， $\sqrt{2a^2x^3}$， $\sqrt{50xy^2}$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{合并下列各式中的同类二次根式：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}, rows={rowsep=0.5em}}
        \xxt{$6\sqrt{a} + 2\sqrt{b} - 4\sqrt{a} + 3\sqrt{b}$；} & \xxt{$\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{5} - \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{5}$；} \\
        \xxt{$6\sqrt{3} + \sqrt{0.12} + \sqrt{48}$；} &     \xxt{$\dfrac{5}{2}\sqrt{xy} - 2\sqrt{xy} - \dfrac{\sqrt{xy}}{2}$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

\end{enhancedline}
